题面

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且 买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k 张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望.

输入

一行,一个数字N,N<=10000

输出

要付出多少钱. 保留二位小数

样例输入

3

样例输出

21.25

标签 bzoj1426

解答

概率与期望的题，要抓住关键期望的线性运算。$E(X)=\sum V_i{P}_i$。首先预处理出f数组，f[i]表示买到i张邮票的期望购买次数(不是价格),然后抓住期望就是次数这一点，$f(i)=\frac{i}{n}f(i)+\frac{n-i}{n}(f(i+1)+1)$其中，$\frac{i}{n}$是购买到已经拥有的邮票的概率，乘上已经拥有的邮票的购买次数，算出购买的已经拥有的邮票的期望。$\frac{n-i}{n}$表示已经买到表示买到不拥有的邮票的概率，乘以买到$i+1$张邮票的次数再加上本次购买的$1$。这样$f$就处理完了。然后考虑处理$g$数组，$g(i)$表示购买了$i$张邮票，还要买到$n$张邮票的期望价格。那么显然，$g(n)=0$,然后想不出来可以写出如下表达式:$$g(i)=\frac{i}{n}(g(i)+f(i)+1)+\frac{n-i}{n}(g(i+1)+f(i+1)+1)$$含义是一样的，解释一下$(g(i)+f(i)+1)$，因为已经买了$i$张邮票，话费了$g(i)$元，购买这张邮票的价格是$f(i+1)+1$，后面也是一样的。 代码：

# include <iostream>
# include <iomanip>
using namespace std;
const int MAXN = 10010;
double f[MAXN],g[MAXN];
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i = n-1;i>=0;i--){
        f[i] = f[i+1]+double(n)/double(n-i);
        g[i] = double(i)/double(n-i)*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1.0;
    }
    cout.setf(ios::fixed);
    cout<<setprecision(2)<<g[0];
}