简介

作用：给定平面上$n$个点，$(x_i,y_i)$，其中$x_i$两两互异，利用拉格朗日插值法，可以求出一个不超过$n$次的多项式$F(x)$ 经过这$n$个点。

几个定理

1. 存在性，一定存在一个函数$F(x)$经过上述的点
2. 唯一性，仅存在一个函数$F(x)$满足条件

做法

首先，定义拉格朗日基本多项式（或称插值基函数）$l_j(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{(x-x_i)}{x_j-x_i}$，不难发现$l_i(x)$的特点是在$x_i$处的取值为1，其他地方取值为0. 那么插值函数$F(x)=\sum_{i=1}^{n}y_il_i(x)$

定理证明

定理1证明：由做法显然 定理2证明： 假设存在两个拉格朗日多项式$P_1P_2$次数均不超过$k$，那么他们的差$P_1-P_2$在每个$x_i$上的取值都为$0$，即$\prod\limits_{i=1}^{n}(x-x_i)$的倍数，如果$P_2-P_1$不等于$0$，那么它的次数一定超过$k$，所以当$P_1\ P_2$次数不超过$k$的时候，有$P_1=P_2$，所以唯一性得证。